by HENRY ALEJANDRO GERENA RICARDO. at/on 12:52
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RELACIONES GENERALES


n-aria/Conjunto Universal
n-ario/Conjunto dentro de aria
n-tuplas/Conjunto dentro de ario


INTRODUCCION

Una relación n-aria es un conjunto de n-tuplas. Las relaciones son útiles por muchas razones. Todas las bases de datos relacionales utilizan relaciones n-arias para el almacenamiento y acceso a datos. De aquí en adelante la palabra relación, cuando sea utilizada en las secciones siguientes, se referirá por defecto a las relaciones binarias. Las relaciones binarias son conjuntos de pares y aparecen en muchos contextos. Existen también muchos métodos para representar relaciones binarias.

Anteriormente, se examino entre conjuntos y propiedades. Se mencionó que todos los conjuntos corresponden a propiedades en el sentido de que cada propiedad define a un conjunto y cada conjunto define a una propiedad los predicados y las relaciones n- arias están conectadas de una manera similar. Todo conjunto de n-tuplas que satisface un cierto predicado n-ario define una relación, y toda relación n-aria R define el predicado “pertenece a R”. A partir de esto, se sigue que muchos resultados del cálculo de predicados tienen un equivalente en la teoría de relaciones.


RELACIONES Y SU REPRESENTACION

Formalmente las relaciones binarias pueden definirse así:

Definición 0.1: Sean A y B dos conjuntos. Una relación de A en B es cualquier conjunto de pares (x,y), x Є A e y Є B. Si (x,y) Є R, diremos que X es R-relacionado con Y, para expresar que R es una relación de A en B, escribimos R: A↔ B.Por ejemplo:El predicado “casado (x,y)” es verdadero cuando X e Y están casados.

Por consiguiente, se puede definir un conjunto, digamos M, tal que

M= {(x,y) │casado (x,y)}

Como M es un conjunto de pares, M es una relación.

M = {(x,y)}


Suponga que A es el conjunto de proveedores y B es el conjunto de productos.
Especialmente,suponga que los proveedores son S1 y S2, y los productos son P1, P2 y P3.
Entonces, A = {S1, S2} y B = {P1, P2, P3}. Ahora se puede definir una relación C como la lista de todos los pares (x, y), donde X es un suministrador, y es un producto y x tiene en existencia al producto y.

Por ejemplo, si S1 tiene P1 y P3 y S2 tiene P2 y P3, C es


C = {(S1, P1), (S1, P3), (S2, P2), (S2, P3)}.

Las relaciones se pueden definir de manera parecida. Por ejemplo la relación 0.1 está dada por la tabla siguiente. En esta tabla existe una fila por cada suministrador y una columna por cada producto. El numero 1 de una celda particular de la tabla indica que el suministrador tiene el producto, mientras que un cero indica que no lo tiene.





las tablas están estrechamente relacionadas con las matrices. Para convertir una tabla en una matriz, simplemente se eliminan el encabezamiento. En este caso, esto produce





Las relaciones se pueden expresar gráficamente. Para representar una relación de A en B, dibujamos un círculo para cada elemento de B a la derecha. Si es par x Є A, y Є B está en la relación, los círculos correspondientes, o nodos, que es el nombre que se le da, están conectados entre sí mediante líneas rectas denominadas arcos. Los arcos comienzan en el primer elemento del par, y van hacia el segundo elemento del par. Esta dirección está indicada mediante una flecha. Todos los arcos que poseen una flecha se denominan arcos dirigidos. La figura resultante se denomina grafo dirigido o dígrafo.


Por ejemplo
Representa gráficamente la relación dada en 0.1


Por ejemplo:



















DOMINIOS Y RANGOS

Cuando R: A ↔ B es una relación, A se denomina el espacio de dominio, y el rango es similar a un subconjunto del espacio de rango. Esto es consecuencia de las siguientes definiciones:
Definición 1.1: Sea R una relación de X a Y. El dominio de R, abreviado por dom R, el conjunto de todos los elementos xЄX que aparecen en, al menos, un par (x, y) R. esto puede expresarse como

dom R = {x│Эy((x,y) Є R)} Э=Por lo menos uno.


Definición 1.2: El rango de R, que se abrevia como ran R, es el conjunto de todos los elementos yЄY que aparecen, al menos, en un par (x,y) R. esto puede expresarse comoran R = { y│Эx((x,y) Є R)}A veces el espacio de dominio y el espacio de rango son idénticos, en cuyo caso, habla de una relación sobre cierto conjunto.


Por ejemplo

En la relación proveedor-producto, el dominio consta de todos los proveedores que tiene, al menos, un producto, y el rango consta de todos los productos ofrecidos por, al menos, un proveedor de la relación. En el par (x,y), x se puede considerar como origen, e y como destino. Por lo tanto, el dominio consta de todos los orígenes y el rango de todos los destinos.Calcular. El dominio y el rango de la relación R, que va del conjunto {1, 2, 3,4}al conjunto { a,b,c,d} y esta dada por:


R= {(2, c),(1,d),(3,d),(2,a)}

Solución. El dominio de esta relación es el conjunto de valores que aparecen en primer lugar en todos los pares de la relación. El conjunto de segundos elementos de los pares similares proporciona el rango. Esto produce:

dom R = {1,2,3}, ran R = {a,c,d}.


ALGUNAS OPERACIONES DE RELACIONES

Con toda relación R de X a Y, se puede asociar una relación inversa R˜ de Y a X. Esencialmente, la relación inversa tiene el par (y,x), donde la relación original tiene el (x,y), como se indica en la siguiente definición:

-(X,Y)= Relación Original
-(Y,X)= Relación Inversa.

Definición: Si R: X↔ Y es una relación, entonces la relación inversas R˜: Y ↔ X se define como {(y,x)│(x,y)R}. Por consiguiente, xRy ≡ yR˜ x.Todas las relaciones de conjunto pueden aplicarse a las relaciones. Los conjuntos resultantes contienen pares ordenados y son, por tanto, relaciones. Si R y S denotan dos relaciones, entonces R∩S define una relación tal que


x(R∩ S)y ≡ xRy ۸ xSy

de modo similar, RUS es una relación tal que
x(RUS)y ≡ xRy ۸ xSy

Además,
x(R - S)y ≡ xRy ۸ xSy

y
x(~R)y ≡ xRy


ejemplo:Sean R: X ↔ Y y S: U↔ V dos relaciones. Los espacios de dominio sonX ={a,c,d} y U ={a,b}, y los espacios de rango son Y ={A,B,C} y V ={B,C}. Además,R ={ (a,A),(a,B),(b,C)} y S ={ (a,B),(b,C)}.


calcular:

~S, R U S,R∩ S,y R – S.

Solución: El complemento de S consta de todos los pares del producto cartesiano U x V que no están en S. esto produce


~S ={ (a,C), (b,B)


Para R U S,R ∩ S,y R – S,se tiene:


R U S={ (a,A),(a,B),(b,C)}
R ∩ S={(a,B),(b,C )}
R – S ={(a,A)}



 
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